(2012•泉州)已知:A、B、C三點不在同一直線上.
(1)若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上,
i)如圖①,當∠A=45°,R=1時,求∠BOC的度數(shù)和BC的長;
ii)如圖②,當∠A為銳角時,求證:sinA=
BC2R
;
(2)若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動,如圖③,當∠MAN=60°,BC=2時,分別作BP⊥AM,CP⊥AN,交點為P,試探索在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離是否保持不變?請說明理由.
分析:(1)i)根據(jù)圓周角定理得出∠BOC=2∠A=90°,再利用勾股定理得出BC的長;
ii)作直徑CE,則∠E=∠A,CE=2R,利用sinA=sinE=
BC
2R
,得出即可;
(2)首先證明點A、B、P、C都在⊙K上,再利用sin60°=
BC
AP
,得出AP=
2
sin60°
=
4
3
3
(定值).
解答:解:(1)i)∵A、B、C均在⊙O上,
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°,
∵OB=OC=1,
∴BC=
2
,
注:也可延長BO或過O點作BC的垂線構造直角三角形求得BC.

ii)證法一:如圖②,作直徑CE,則∠E=∠A,CE=2R,
∴∠EBC=90°
∴sinA=sinE=
BC
2R

證法二:如圖③.連接OB、OC,作OH⊥BC于點H,
則∠A=
1
2
∠BOC=∠BOH,BH=
1
2
BC
∴sinA=sin∠BOH=
BH
OB
=
1
2
BC
R
=
BC
2R
,

(2)如圖④,連接AP,取AP的中點K,連接BK、CK,
在Rt△APC中,CK=
1
2
AP=AK=PK,
同理得:BK=AK=PK,
∴CK=BK=AK=PK,
∴點A、B、P、C都在⊙K上,
∴由(1)ii)可知sin60°=
BC
AP

∴AP=
2
sin60°
=
4
3
3
(定值),
故在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離不變.
點評:此題主要考查了圓周角定理以及解直角三角形和四點共圓等知識,根據(jù)已知得出點A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=
BC
AP
是解題關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•泉州質檢)推行新型農(nóng)村合作醫(yī)療是近年我國實行的惠農(nóng)政策之一,某數(shù)學興趣小組隨機調抽查了某鄉(xiāng)鎮(zhèn)部分村民,并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制如下的條形統(tǒng)計圖和不完整扇形統(tǒng)計圖.請您根據(jù)以下信息,解答下列問題:

(1)本次調查了村民
400
400
人,參加合作醫(yī)療并報銷藥費的村民所占的百分比是
7.5%
7.5%
;被調查的村民中,有
24
24
人報銷了醫(yī)藥費;
(2)若該鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有84000村民,請你估算一下已有多少人參加了合作醫(yī)療?要使參加合作醫(yī)療的村民達到95%,還需多少村民參加?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•泉州質檢)如圖,已知拋物線y=
1
4
x2+bx經(jīng)過點(4,0),頂點為M.
(1)求b的值;
(2)將該拋物線沿它的對稱軸向下平移n個單位長度,平移后的拋物線與x軸交于A(6,0)、B兩點,與y軸交于C點.①試求n的值;②在第二象限內(nèi)的拋物線y=
1
4
x2+bx上找一個點P,使得:S△PBC=S△MBC,并求出點P的坐標.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•泉州質檢)如圖,在直角坐標系中,已知A(0,3)、O(0,0)、C(6,0)、D(3,3),點P從C點出發(fā),沿著折線C-D-A運動到達點A時停止,過C點作直線GC⊥PC,且與過O、P、C三點的⊙M交于點G,連接OP、PG、OD.設點P運動路線的長度為m.
(1)直接寫出∠DCO的度數(shù);
(2)當點P在線段CD上運動時,求△OPG的最小面積;
(3)設圓心M的縱坐標為n,試探索:在點P運動的整個過程中,n的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•泉州)(1)方程x-5=0的解是
5
5

(2)如圖,點A、O、B在同一直線上,已知∠BOC=50°,則∠AOC=
130
130
°.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹