Question

如圖，拋物線過x軸上兩點A（9，0），C（-3，0），且與y軸交于點B（0，-12）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，△APQ∽△AOB？
（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBNA面積的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設二次函數(shù)解析式為交點式：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．然后把點B的交點坐標代入來求a的值；
（2）利用相似三角形的對應邊成比例得到：

AP

AO

=

AQ

AB

．然后把相關線段的長度代入即可求得t的值；
（3）①利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為：y=

4

3

x-12．設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形，則對邊相等：MN=OB=12，（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，根據(jù)△＜0可以推知不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
②利用“分割法”得到：S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN，S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54，則
S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，所以由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得當x=

9

2

時，S_△ABN 最大值=

81

2

，所以S_{四邊形CBNA最大}=

225

2

．

解答：（1）因拋物線過x軸上兩點A（9，0），C（-3，0）
故設拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．
又∵B（0，-12）
∴-12=-27a
∴a=

4

9

      
y=

4

9

（x+3）（x-9）=

4

9

x²-

8

3

x-12；

 （2）如圖1，∵B（0，-12），A（9，0），
∴OB=12，OA=9，
∴由勾股定理得到：AB=

122+92

=15．
AP=2t，AQ=15-t，易求AC=12，
∴0≤t≤6
∵△APQ∽△AOB，則

AP

AO

=

AQ

AB

，即

2t

9

=

15-t

15

，
，解得，t=

45

13

．
∴當t=

45

13

時，△APQ∽△AOB；

（3）如圖2，設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
∵B（0，-12），A（9，0），
∴

b=-12 0=9x+b

，
解得，

k= 4 3 b=-12

，
則直線AB的函數(shù)關系式為y=

4

3

x-12．
設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=12
∴（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12                   
即x²-9x+27=0
∵△＜0，∴此方程無實數(shù)根，
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
②∵S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN
∵S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54
=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

∴當x=

9

2

時，S_△ABN 最大值=

81

2

此時M（

9

2

，-6），
S_{四邊形CBNA最大}=

225

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．求拋物線的最值的方法是配方法．