Question

已知：如圖1，PA切⊙O于A點(diǎn)，割線(xiàn)PCB交⊙O于C、B兩點(diǎn)，D是線(xiàn)段BP上一點(diǎn)，且PD²=PB•PC，直線(xiàn)AD交⊙O于E點(diǎn)．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）求證：AB•AC=AD•AE；
（3）若把題中條件“D是線(xiàn)段BP上一點(diǎn)”改為“D是線(xiàn)段BP延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)”（如圖2），則題（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可先根據(jù)切割線(xiàn)定理，以及給出的PD²=PB•PC，得出PA=PD，根據(jù)等邊對(duì)等角，得出∠PAD=∠PDA，根據(jù)∠PAD=∠PAC+∠DAC，∠PDA=∠ABC+BAE，以及圓周角定理得出∠BAE=∠EAC，即AD平分∠BAC；
（2）本題實(shí)際求的是三角形ACD和ABE相似，已知的條件有：圓周角∠ACD=∠AEB，又由（1）的角平分線(xiàn)得出的∠BAE=∠CAE，因此兩三角形就相似，即可得出題中所求證得結(jié)論；
（3）和（1）（2）的方法一樣，先根據(jù)切割線(xiàn)定理得出PA=PD，然后根據(jù)等角的余角相等，得出∠EBA=∠PAD=∠D，又已知了一組直角，那么三角形ABE和三角形ACD相似，由此可得出所求的結(jié)論．

解答：（1）證明：∵PA是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠PAC=∠ABC，PA²=PC•PB
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC；

（2）證明：連接BE，則∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴

AB

AE

=

AD

AC

即：AB•AC=AD•AE；

（3）解：（2）的結(jié)論仍然成立，
證明：連接BE
∵AB是直徑
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切線(xiàn)
∴PA²=PC•PB，∠BAP=90°
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°，∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴

AB

AE

=

AD

AC

，即：AB•AC=AD•AE
因此，（2）的結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．用相似三角形來(lái)求線(xiàn)段的比例關(guān)系是本題的基本思路．