Question

【題目】如圖，在半徑為4的⊙O中，CD為直徑，AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的定義確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當(dāng)E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACG的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長．

連接AC，AO．

∵AB⊥CD，∴G為AB的中點(diǎn)，即AG=BG=AB．

∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4．

又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根據(jù)勾股定理得：AC==4．

∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為以AC為直徑的半圓，當(dāng)E位于點(diǎn)B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當(dāng)E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長．在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所對圓心角的度數(shù)為60°．

∵直徑AC=4，∴的長為=π，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為π．

故選D．