Question

（2006•河北）如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)可證明△OBM≌△OFN，所以根據(jù)全等的性質(zhì)可知BM=FN；
（2）同（1）中的證明方法一樣，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可證△OBM≌△OFN，所以BM=FN．
解答：（1）BM=FN．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM與△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM與△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)知識(shí)在幾何綜合題中運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)前后許多線段相等，本題以實(shí)驗(yàn)為背景，探索在不同位置關(guān)系下線段的關(guān)系，為中考常見的題型．