Question

如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙0上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．
（1）求證：BC²=BD•BE；
（2）若tan∠CED=

1

2

，⊙0的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖，連接OC．構(gòu)建相似三角形△BCD∽△BEC，根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

BC

BE

=

BD

BC

，則BC²=BD•BE；
（2）利用正切三角函數(shù)的定義、（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．設(shè)BD=x（x＞0）．BC=2x．又BC²=BD•BE，則易求x=2，所以根據(jù)圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系來(lái)求OA的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴OC是⊙O的切線．
∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；

（2）∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
由（1）知，△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
設(shè)BD=x（x＞0），則BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x（x+6），
解得x=0（不合題意，舍去），或x=2．
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5，即OA的長(zhǎng)度是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．