Question

設(shè)a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0，試問：a、b、c滿足什么條件時(shí)，三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：證明題

分析：先設(shè)三個(gè)方程都沒有不等實(shí)數(shù)根，得到三個(gè)判別式小于或等于0，即△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，變形為（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，得到a=b=c．則三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根是a，b，c不全相等．

解答：解：設(shè)三個(gè)二次方程都沒有不等的實(shí)數(shù)根，則△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；
三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0．
∴a=b=c．
即a=b=c，三個(gè)二次方程都沒有不等的實(shí)數(shù)根．
所以當(dāng)a，b，c為不全相等的非零實(shí)數(shù)時(shí)，三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了從結(jié)論的反面思考問題的方法和代數(shù)式的變形能力．