Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A(x1，0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，且x1＞x2，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的兩個(gè)根．

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-0.5x2+x+4；（2）P（1，0）；（3）存在，Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）

【解析】試題分析: （1）先通過(guò)解方程求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;（2）本題要通過(guò)求△CPE的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式而后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求△CPE的面積的最大值以及對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo)．△CPE的面積無(wú)法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來(lái)求，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出BP的長(zhǎng)，可通過(guò)相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據(jù)三角形面積計(jì)算方法即可得出△CEP的面積，然后根據(jù)上面分析的步驟即可求出所求的值;（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：①Q(mào)C=BC，那么Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去或加上BC的長(zhǎng)．由此可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②QB=BC，此時(shí)Q，C關(guān)于x軸對(duì)稱，據(jù)此可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．③QB=QC，Q點(diǎn)在BC的垂直平分線上，可通過(guò)相似三角形來(lái)求出QC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);

試題解析:

（1）∵x2-2x-8=0，

∴（x-4）（x+2）=0．

∴x1=4，x2=-2．

∴A（4，0），B（-2，0）．

又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∴

解得

∴所求拋物線的解析式為y=-0.5x2+x+4;

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖所示:

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)A坐標(biāo)（4，0），

∴AB=6，BP=m+2．

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC．

∴BP：AB=EG：CH

∴EG：4=(m+2):6

∴EG=(2m+4):3

∴S△CPE=S△CBP-S△EBP

=-1/3（m-1）2+3．

又∵-2≤m≤4，

∴當(dāng)m=1時(shí)，S△CPE有最大值3．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）;

（3）存在Q點(diǎn)，
∵BC= ,

設(shè)Q（1，n），
當(dāng)BQ=CQ時(shí)，
則32+n2=12+（n-4）2，
解得：n=1，
即Q1（1，1）；
當(dāng)BC=BQ=,時(shí)，9+n2=20，
解得：n=± ,

∴Q2（1， ），Q3（1，-）；

當(dāng)BC=CQ=時(shí), ，1+（n-4）2=20，
解得：n=4±

∴Q4（1，4+）, Q5（1，4-）;

綜上可得：坐標(biāo)為Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）.

點(diǎn)睛: 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、三角形相似、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.