Question

【題目】如圖1，已知拋物線頂點(diǎn)C（1，4），且與y軸交于點(diǎn)D（0，3）．

（1）求該拋物線的解析式及其與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）將直線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AE，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，線段AP交BD于點(diǎn)M、交y軸于點(diǎn)N，△BMP和△DMN的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0）；（2）點(diǎn)E（，）；（3）S1﹣S2的最大值為．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-h）2+k=a（x-1）2+4，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式，即可求解；
（2）構(gòu)建△ACH，用解直角三角形的方法求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；
（3）設(shè)S=S△ABM，則S1-S2=（S1+S）-（S+S2）=S△ABP-S△BDO，即可求解．

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣1）2+4，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3①；

令y＝0，則x＝﹣1或3，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）如圖，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥AC于點(diǎn)N，

在△AGC中，tan∠ACG＝＝tan∠HCN，

在Rt△CHN中，設(shè)HN＝x，則CN＝HNtan∠HCN＝2x，

在Rt△ANH中，∠NAH＝45°，則AN＝NH＝x，

故AC＝AN+CN＝3x＝，

故x＝，

在Rt△CHN中，CH＝，

故點(diǎn)H（1，），

由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)得，直線AH的表達(dá)式為：y＝x+②，

聯(lián)立①②并解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），

故點(diǎn)E（，）；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），y＝﹣x2+2x+3，

設(shè)S＝S△ABM，

則S1﹣S2＝（S1+S）﹣（S+S2）＝S△ABP﹣S△BDO

＝×AB×y﹣×OB×OD

＝×4×y×3×3

＝﹣2x2+4x+，

∵﹣2＜0，故S1﹣S2有最大值，

當(dāng)x＝1時(shí)，其最大值為；

故S1﹣S2的最大值為．