Question

如圖，在直角坐標系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=12，BC=16，點A在x軸上，點C在y軸上．
（1）寫出點A、B、C及M的坐標；
（2）過點C作⊙M的切線交x軸于點P，求直線PC的解析式；
（3）如果E為PC上一動點（運動時不與P、C重合），過點E作直線EF交PA于點F．
①直線EF將四邊形PABC的周長平分，設(shè)E點的縱坐標為t，△PEF的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取值范圍；
②是否存在直線EF將四邊形PABC的周長和面積同時平分？若能，請求出直線EF的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）矩形在坐標軸上，A、B、C三點的坐標可以寫出，由中點坐標公式可以寫出M點的坐標；
（2）連接CM．直線PC與圓相切，CM與PC垂直，兩直線斜率之積為-1，求出PC的斜率，進而求出直線PC的解析式；
（3）①作EN⊥x軸于N．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出PE、EN的長，再根據(jù)四邊形的周長分成相等的兩部分表示PF的長，從而表示三角形的面積；
②只需求得四邊形的面積，令①中的解析式等于四邊形的面積的一半進行分析求解．

解答：解：（1）A（16，0），B（16，12），C（0，12），M（8，6）．


（2）連接CM．
∵CM是圓半徑，PC是切線，
∴PC⊥CM，
K_PC×K_CM=-1，
解得K_PC=

4

3

，
由點斜式寫出解析式為y=

4

3

x+12．


（3）①作EN⊥x軸于N．
根據(jù)（2）中的直線解析式求得P（-9，0）．
則PC=15．
則四邊形ABCP的周長是15+9+16+16+12=68．
又點E的縱坐標是t，
則PE=

5

4

t，
則PF=34-

5

4

t，
則S=

1

2

×t（34-

5

4

t）=-

5

8

t2+17t（7.2≤t≤16）．
②因為四邊形ABCP的面積=

1

2

×（16+16+9）×12=246．
若把四邊形的面積等分，則S=123．
有-

5

8

t2+17t=123，
此方程無實數(shù)根，
故不存在直線EF將四邊形PABC的周長和面積同時平分．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)以及三角形的面積公式．