Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，過點B、C分別作AD的垂線，垂足分別為點F、E，CF和EB相交于點P，聯(lián)結(jié)AP．
（1）求證：

AF

AE

=

BF

EC

；
（2）S_△ABF=4，S_△AEC=9，求AP：EC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，過點B、C分別作AD的垂線，可得∠BAF=∠CAE，∠BFA=∠AEC=90°，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的對應邊成比例，可得

AF

AE

=

BF

EC

，即可得BF∥EC，由平行分線段成比例及其變形，即可得AP∥EC．

解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．

（2）由（1）有

AF

AE

=

BF

EC

，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴

PF

BC

=

BF

EC

，
∴

AF

AE

=

PF

PC

，
∴AP∥EC，
∵△APF∽△CFE，
∴AP：CE=CF：PF，
∵S_△ABF=4，S_△AEC=9，
∴CE：BF=2：3，
∴AP：CE=3：2．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，以及平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意仔細識圖．