Question

20．已知矩形OABC在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），連接AC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度，沿直線BC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C為止（不包含B、C兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交線段BA于點(diǎn)Q，以PQ為邊向下作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm²），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖②，點(diǎn)G在邊OC上，且OG=1cm，在點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)的同時(shí)，另有一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以2cm/s的速度，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)G、OE為一組鄰邊作矩形OEFG．請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)F落在正方形PQMN的內(nèi)部（不含邊界）時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作NH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得BQ，然后證明△BPQ≌△HNP，則BH以及HN的長(zhǎng)即可利用t表示，則N的坐標(biāo)即可求解；
（2）首先求出MN在AC上時(shí)t的值，然后分兩種情況進(jìn)行討論，利用矩形的面積公式即可求解；
（3）求得AC的解析式，然后根據(jù)PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F(xiàn)的坐標(biāo)是（2t，1），把F的坐標(biāo)分別代入PQ和MN的解析式即可求解

解答 解：（1）作NH⊥BC于點(diǎn)H．
∵PQ∥CA，
∴△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{BQ}{3}$，
解得：BQ=$\frac{3}{2}$t，
∵在△BPQ和△HNP，
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠NHP}\\{∠HPN=∠BQP}\\{PN=QP}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△HNP，
∴HP=BQ=$\frac{3}{2}$t，NH=BP=2t，
則BH=2t+$\frac{3}{2}$t=$\frac{7}{2}$t，
則N點(diǎn)坐標(biāo)（4-$\frac{7}{2}$t，3-2t）；
（2）當(dāng)MN在AC上時(shí)，如圖②．
∵△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PQ}{AC}$，即$\frac{2t}{4}=\frac{PQ}{5t}$，
解得：PQ=$\frac{5}{2}$t，
當(dāng)MN在AC上時(shí)，PN=PQ=$\frac{5}{2}$t，
△ABC∽△PNC，即$\frac{PN}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}t}{3}=\frac{4-2t}{5}$，
解得：t=$\frac{24}{37}$．
則S=$\frac{25}{4}$t²．
其中，0≤t≤$\frac{24}{37}$．
當(dāng)t＞$\frac{24}{37}$時(shí)，設(shè)PN交AC于點(diǎn)E，如圖③．
則△ABC∽△PEC，則$\frac{PE}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即$\frac{PE}{3}=\frac{4-2t}{5}$，解得：PE=$\frac{12-6t}{5}$，
則S=-3t²+6t．
其中，$\frac{24}{37}$＜t≤2．
（3）設(shè)AC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
則設(shè)直線MN的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+3，
則-$\frac{3}{4}$（4-$\frac{7}{2}$t）+c=3-2t，
解得：c=6-$\frac{37}{8}$t，
則直線的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（6-$\frac{37}{8}$t）．
同理，直線PQ的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+（$\frac{25}{3}$-$\frac{8}{3}$t），
F的坐標(biāo)是（2t，1）．
當(dāng)點(diǎn)F落在MN上時(shí)，
t=$\frac{40}{49}$．
當(dāng)點(diǎn)F落在PQ上時(shí)，
∴t=$\frac{5}{3}$． 
∴$\frac{40}{49}$＜t＜$\frac{5}{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判和性質(zhì)，待定系數(shù)法，正確求得MN在AC上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值是關(guān)鍵．是一道中等難度的中考�？碱}．