Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，連接AC．若∠CPA=30°，∠CPA的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，則∠CMP=________度．

Answer 1

45
分析：連接OC．利用切線(xiàn)PC的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠COP=60°；然后利用等腰三角形AOC以及三角形的外角的性質(zhì)求得∠A=30°；最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CMP=45°．
解答：解：連接OC．
∵PC是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OCP=90°；
又∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；
而OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠A=∠OCA（等邊對(duì)等角），
∴∠COP=2∠A（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠A=30°；
∵PM是∠CPA的平分線(xiàn)，∠CPA=30°，
∴∠MPA=15°，
∠CMP=∠A+∠MPA=45°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．
故答案是：45．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．