Question

如圖，已知?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，且∠1=∠2．
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）F為AD上一點(diǎn)，連結(jié)BF交AC于E，且AE=AF，求證：AO=

1

2

（AF+AB）．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊即可證得AB=BC，則依據(jù)菱形的定義即可判斷；
（2）首先證明△BCE是等腰三角形，然后依據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證得．

解答：解：（1）證明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB
∴AB=BC，
∴?ABCD是菱形；

（2）∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFE=∠EBC，
又∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，
∴OA=

1

2

（AF+BC），
又∵AB=BC，
∴OA=

1

2

（AF+AB）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)及判定方法，正確證明△BCE是等腰三角形是關(guān)鍵．