Question

已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，解決下列問題：
（1）關于x的一元二次方程-x²+bx+c=0的解為

 

；
（2）求此拋物線的解析式和頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）中直接觀察圖象，拋物線與x軸交于-1，3兩點，所以方程的解為x₁=-1，x₂=3．
（2）方法一：由圖象看出拋物線的對稱軸為x=1，則-

b

2a

=1，再代入交點坐標（3，0），即得拋物線的解析式．利用頂點公式求出頂點坐標（1，4）；
方法二：設出拋物線的頂點坐標形式，代入坐標（3，0），即可求得拋物線的解析式．
方法三：或者利用交點式y=-（x-x₁）（x-x₂），求出解析式y=-（x+1）（x-3），然后求出頂點坐標（1，4）．

解答：解：（1）觀察圖象可看對稱軸出拋物線與x軸交于x=-1和x=3兩點，
∴方程的解為x₁=-1，x₂=3（1分）

（2）解法一：由圖象知：拋物線y=-x²+bx+c的對稱軸為x=1，
且與x軸交于點（3，0）
∴

- b 2×(-1) =1 -32+3b+c=0

（3分）
解得：

b=2 c=3

（4分）
∴拋物線的解析式為：
y=-x²+2x+3
頂點（1，4）（5分）
解法二：設拋物線解析式為
y=-（x-1）²+k（2分）
∵拋物線與x軸交于點（3，0）
∴（3-1）²+k=0（3分）
解得：k=4（4分）
∴拋物線解析式為
y=-（x-1）²+4
即：拋物線解析式為
y=-x²+2x+3
頂點（1，4）（5分）
解法三：由（1）x₁=-1，x₂=3可
得拋物線解析式為
y=-（x-3）（x+1）（3分）
整理得：拋物線解析式為
y=-x²+2x+3
頂點（1，4）（5分）

點評：本題考查了用待定系數法求函數解析式的方法，同時還考查了方程組的解法等知識，難度不大．