Question

（2013•衡陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5；
（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，所以

OB

OC

=

OA

OB

，可解得OC=

9

2

，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

2

，0），最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=

2

ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND=

24

7

，所以O(shè)D=

24

7

，ON=

24 2

7

，即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=

40

7

，則BN=10-

40

7

=

30

7

，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（4，3）；

（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，
∵BC與⊙M相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，
∴

OB

OC

=

OA

OB

，即

6

OC

=

8

6

，解得OC=

9

2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

2

，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點(diǎn)（-

9

2

，0）分別代入

b=6 - 9 2 k+b=0

，
解得

k= 4 3 b=6

，
∴直線l的解析式為y=

4

3

x+6；

（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，如圖，
∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=

24

7

，
∴OD=

24

7

，ON=

2

ND=

24 2

7

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（

24

7

，

24

7

）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即

24

7

：6=AN：10，解得AN=

40

7

，
∴BN=10-

40

7

=

30

7

，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即

30

7

：NE=

24 2

7

：

40

7

，解得NE=

25 2

7

，
∴OE=ON+NE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．