Question

【題目】如圖，己知正方形ABCD的邊長為4， P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E， PF⊥CD于點F，連接AP， EF，給出下列結論：①PD=EC；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值為；⑥AP⊥EF，其中正確結論的序號為（ ）

A.①②④⑤⑥B.①②④⑤C.②④⑤D.②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據正方形的對角線平分對角的性質，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=EC．

②先證明四邊形PECF為矩形，根據等腰直角三角形和矩形的性質可得其周長為2BC，則四邊形PECF的周長為8；

③根據P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四邊形PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明AP=EF；

⑤當AP最小時，EF最小，EF的最小值等于2；

⑥證明∠PFH+∠HPF=90°，則AP⊥EF．

①如圖，延長FP交AB與G，連PC，延長AP交EF與H，

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠DBC=45°

∴∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC=DF，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴DP=EC．故①正確；

②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，

∴四邊形PECF為矩形，

∴四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正確；

③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45度，

∴當∠PAD=45度或67.5度或90度時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，

故③錯誤．

④∵四邊形PECF為矩形，

∴PC=EF，

由正方形為軸對稱圖形，

∴AP=PC，

∴AP=EF，

故④正確；

⑤由EF=PC=AP，

∴當AP最小時，EF最小，

則當AP⊥BD時，即AP=BD=×4=2時，EF的最小值等于2，故⑤正確；

⑥∵GF∥BC，

∴∠AGP=90°，

∴∠BAP+∠APG=90°，

∵∠APG=∠HPF，

∴∠PFH+∠HPF=90°，

∴AP⊥EF，

故⑥正確；

本題正確的有：①②④⑤⑥；

故選：A．