Question

2．如圖，在?ABCD中，AB：BC=2：3，點(diǎn)E、F分別在邊CD、BC上，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，CF=2BF，∠A=120°，過點(diǎn)A分別作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分別為P、Q，那么$\frac{AP}{AQ}$的值為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

Answer 1

分析 如圖，連接AE、AF，過點(diǎn)A分別作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分別為P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，設(shè)AB=2a．BC=3a．根據(jù)$\frac{1}{2}$•AP•BE=$\frac{1}{2}$•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AE、AF，過點(diǎn)A分別作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分別為P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，設(shè)AB=2a．BC=3a．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S_△ABE=S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DFH中，DF=$\sqrt{F{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG=$\frac{1}{2}$a，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△BEG中，BE=$\sqrt{B{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{13}$a，
∴$\frac{1}{2}$•AP•BE=$\frac{1}{2}$•DF•AQ，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
故答案為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是利用面積法求線段的長，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．