Question

【題目】如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA=PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）如圖，連接OP、OB，證明△PAO≌△PBO，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠PBO=∠PAO=90°，據(jù)此即可證得；

（2）連接BC，設(shè)OP交AB于K，首先證明BC=2OK，設(shè)OK=a，則BC=2a，再證明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PKPO，設(shè)PK=x，則有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=（負(fù)根已經(jīng)舍棄），推出PK=，由PK∥BC，可得.

（1）如圖，連接OP、OB，

∵PA是⊙O的切線，

∴PA⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，

∴△PAO≌△PBO．

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BC，設(shè)OP交AB于K，

∵AB是直徑，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵PA、PB都是切線，

∴PA=PB，∠APO=∠BPO，

∵OA=OB，

∴OP垂直平分線段AB，

∴OK∥BC，

∵AO=OC，

∴AK=BK，

∴BC=2OK，設(shè)OK=a，則BC=2a，

∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，

∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，

∴BC=PB=PA=2a，

∵△PAK∽△POA，

∴PA2=PKPO，設(shè)PK=x，

則有：x2+ax﹣4a2=0，

解得x=（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴PK=，

∵PK∥BC，

∴.