Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（6，8），點D坐標為（9，0），過B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，點P沿OC自點O向點C運動，同時點Q沿OA向點A運動，點Q與點P的速度之比為1：n，連接PB、PQ．
（1）求經(jīng)過C、B、D三點的拋物線；
（2）當n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)已知條件可求出C的坐標為（0，8），把C，D，B的坐標分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）若使∠OPQ=30°則由30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出n的值，45°，60°思路類同；
（3）若存在PB⊥PQ，則△BCP∽△PBQ，設(shè)OQ=x，則有PO=xn，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式△≥即可求出x的取值范圍，即OQ的取值范圍；
（4）因為等腰三角形MBD的腰和底確定，所以要分三種情況討論①DB=DM時；②BM=DM時；③MA=MB時分別求出符合題意M的坐標即可．
解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點B的坐標為（6，8），
B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，
∴四邊形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐標是（0，8），
∵點D坐標為（9，0），
∴，
解得：，
故經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式是y=-x2+x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ==，
則=，
解得n=，
若使∠OPQ=45°，則OP=OQ，
則n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ==，
則=，
解得n=，
故答案為：，1，；

（3）若存在PB⊥PQ，則∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴，
設(shè)OQ=x，則有PO=xn，
∴，
化簡得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4•x•6≥0，
∴x≤，
∵OQ=x是線段的長度，
∴0＜OQ≤；

（4）①當DB=DM時，以D為圓心，DB為半徑作圓D，交矩形OA邊于M₁，求得M₁的坐標為（9-，0）；
②BM=DM時，以B為圓心，以BD為半徑作圓B，交OA邊于M₂，交OC邊于M₃，由勾股定理得：M₂的坐標為（3，0），M₃的坐標為（0，8-）；
③MA=MB時，作BD垂直平分線分別交矩形AB邊M4，交OC邊于M5，由勾股定理得M₄的坐標為（6，），M₅的坐標為（0，）；
綜上所述符合條件要求的M有五個點，它們的坐標分別是（9-，0）、（3，0）、（0，8-）、（6，）、（0，）．
點評：本題綜合性考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、特殊角的銳角三角函數(shù)值、相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)和數(shù)學分類討論思想的運用，題目具有很強的綜合性，難度不�。�