Question

【題目】如圖（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連結(jié)AD、CF，AD與CF交于點(diǎn)M．

（1）求證：△ABD≌△FBC；

（2）如圖（2），求證：AM2+MF2＝AF2．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)直角相等，根據(jù)圖形利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）∵四邊形ABFG、BCED是正方形，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，

，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AM2+MF2=AF2．