Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和B，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）設拋物線的頂點為D，連接CD、DB、CB、AC．
①求證：△AOC∽△DCB；
②在坐標軸上是否存在與原點O不重合的點P，使以P、A、C為頂點的三角形與△DCB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設Q是拋物線上一點，連接QB、QC，把△QBC沿直線BC翻折得到△Q′BC，若四邊形QBQ′C為菱形，求此時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線經(jīng)過點A和點C，所以把點A和點C的坐標代入拋物線的解析式中得到關于b和c的方程，聯(lián)立解出b和c，即可得到拋物線的解析式，又因為點B是拋物線與x軸的另一交點，令y=0即可求出點B的坐標．
（2）①根據(jù)（1）中求出的拋物線的解析式求出頂點D的坐標，根據(jù)OC與OB相等且互相垂直得到三角形COB為等腰直角三角形，得到角OCB為45°，根據(jù)勾股定理分別求出CD和BC的長，求出CD與CB的比值及OA與OC的比值，發(fā)現(xiàn)兩比值相等，且由角DCy與角BCO都等于45°，推出角DCB為90°，而角COA也為90°，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等，得到兩三角形相似，得證；
②考慮兩種情況，當P在x軸上（B的右邊），且角ACP為直角時，三角形ACP與三角形DCB，相似比為AC比CD，所以AP比DB也等于相似比即可求出AP的長，進而求出P的坐標；當P在y軸的負半軸上時，角CAP為直角，AC比BC為相似比，斜邊CP與DB之比等于相似比即可求出CP的長，進而求出P的坐標；寫出P的兩種情況的坐標即可；
③若四邊形QBQ’C為菱形，根據(jù)菱形對角線的性質得到QQ′垂直平分BC，得到點Q在線段BC的垂直平分線上，由OB等于OC得到直線QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式為y=x，將y=x與拋物線的解析式聯(lián)立即可求出Q的坐標．
解答：解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴點B的坐標是（3，0）；

（2）①證明：可求得頂點D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=，BC=．
∴，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合條件的點P有兩個：P₁（9，0）或P₂（0，）；

（3）若四邊形QBQ′C為菱形，則QQ′垂直平分BC，∴點Q在線段BC的垂直平分線上，
∵OC=OB，
∴直線QQ’平分∠BOC，
即：直線QQ′的解析式為y=x，
∵點Q在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=，
∴Q（，）或（，）．
點評：此題考查學生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握兩三角形相似的證明方法，考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想，是一道綜合題．也是中考中的壓軸題．