Question

如圖，在直角梯形ABCD中，，，AB=AD，∠BAD的平分線交BC于E，連接DE．

（1）說明點D在△ABE的外接圓上；（6分）

（2）若∠AED=∠CED，試判斷直線CD與△ABE外接圓的位置關(guān)系，并說明理由．（6分）

 

Answer 1

（1）證法一：∵∠B=90°，                                              ∴AE是△ABE外接圓的直徑．

取AE的中點O，則O為圓心，連接OB、OD．

∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO，

∴△AOB≌△AOD．       

∴OD=OB．

∴點D在△ABE的外接圓上．

證法二：∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圓的直徑．

∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△ABE≌△ADE．        

∴∠ADE=∠B=90°．        

取AE的中點O， 則O為圓心，連接OD，則OD=AE． 

∴點D在△ABE的外接圓上．      

（2）證法一：直線CD與△ABE的外接圓相切．

理由：∵AB∥CD， ∠B=90°．   ∴∠C=90°．

∴∠CED+∠CDE=90°．          

又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED．  

又∠AED=∠CED， ∴∠ODE=∠DEC．

∴∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．

∴CD與△ABE的外接圓相切．          

證法二： 直線CD與△ABE的外接圓相切．

理由：∵AB∥CD， ∠B=90°．   ∴∠C=90°．

又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED．          

又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC．     

∴OD∥BC．

∴．            

∴CD與△ABE的外接圓相切．