附加題．觀察計算
當a=5，b=3時，
a+b
2
與
ab
的大小關系是
＞
＞
．
當a=4，b=4時，
a+b
2
與
ab
的大小關系是
=
=
．
●探究證明
如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結論
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出
a+b
2
與
ab
的大小關系是：
a+b
2
≥
ab
（當a=b時，取“=”）
a+b
2
≥
ab
（當a=b時，取“=”）
．
分析：觀察計算：將a、b的值分別代入已知代數(shù)式并求值，然后比較
a+b
2
與
ab
的大小；
探究證明：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，證△ADC∽△CDB，得出
CD
DB
=
AD
CD
，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分為兩種情況：當O和D不重合時得出
a+b
2
＞
ab
，當O和D重合時得出
a+b
2
=
ab
，即可得出答案
a+b
2
≥
ab
．
解答：解：觀察計算：
當a=5，b=3時，
a+b
2
=
5+3
2
=4，
ab
=
3×5
=
15
．
∵4＞
15
，
∴
a+b
2
＞
ab
；
當a=4，b=4時，
a+b
2
=
4+4
2
=4，
ab
=
4×4
=4，
∵4=4，
∴
a+b
2
=
ab
；
故答案是：＞，=；

●探究證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴
CD
DB
=
AD
CD
，即
CD
b
=
a
CD
，CD=
ab
，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直徑，
∴半徑OC=
1
2
AB=
a+b
2
；
即OC=
a+b
2
，CD=
ab
；

（2）∵當D和O不重合時，如圖，在Rt△OCD中，OC＞CD，即
a+b
2
＞
ab
；
當D和O重合時，OC=CD，即
a+b
2
=
ab
；
∴OC與CD表達式之間存在的數(shù)量關系是：
a+b
2
≥
ab
．

●歸納結論
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出：
a+b
2
≥
ab
（當a=b時，取“=”）．
點評：本題考查了勾股定理和相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．
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