Question

（2009•金山區(qū)二模）在矩形ABCD中，AB=3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E．
（1）若直線l過點B，把△ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A′重合，求BC的長；
（2）若直線l與AB相交于點F，且AO=AC，設(shè)AD的長為x，五邊形BCDEF的面積為S．
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
②探索：是否存在這樣的x，以A為圓心，以x-長為半徑的圓與直線l相切？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及軸對稱的性質(zhì)得到AC=2AB，進而利用勾股定理求解即可．
（2）①五邊形的面積=矩形的面積-S_△AEF，利用相似可求得AE，AF的長度．
②圓與直線l相切，半徑x-應(yīng)等于AO長．
解答：解：（1）∵A′是矩形ABCD的對稱中心，
∴A′B=AA′=AC（1分）
又∵AB=A′B，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC²=AC²-AB²
∴．（2分）

（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴．（1分）
∵，（1分）
易證△AOF∽△ABC，，（1分）
同理可得，（1分）
∴=，
∴，
即：（）．
②若圓A與直線l相切，
則，（1分）
15x²-24x=0，x₁=0（舍去），．（1分）
∵，
∴不存在這樣的x，使圓A與直線l相切．（1分）
點評：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；圓與直線相切，半徑等于圓心到直線的距離．