【題目】已知直線y=﹣x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在拋物線y=﹣(x﹣2+4上,能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有(

A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)

【答案】A.

【解析】

試題分析:以點(diǎn)B為圓心線段AB長為半徑做圓,交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn),連接AC、BC,如圖所示.

令一次函數(shù)y=﹣x+3中x=0,則y=3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3);

令一次函數(shù)y=﹣x+3中y=0,則﹣x+3,

解得:x=,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0).

∴AB=2

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3),

∴AC=2=AB=BC,

∴△ABC為等邊三角形.

令y=﹣(x﹣2+4中y=0,則﹣(x﹣2+4=0,

解得:x=﹣,或x=3

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0).

△ABP為等腰三角形分三種情況:

①當(dāng)AB=BP時(shí),以B點(diǎn)為圓心,AB長度為半徑做圓,與拋物線交于C、M、N三點(diǎn);

②當(dāng)AB=AP時(shí),以A點(diǎn)為圓心,AB長度為半徑做圓,與拋物線交于C、M兩點(diǎn),;

③當(dāng)AP=BP時(shí),作線段AB的垂直平分線,交拋物線交于C、M兩點(diǎn);

∴能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè).

答案選A.

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