Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，BP與半圓交于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，給出如下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論是______填寫(xiě)序號(hào)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①連接OQ，OD，如圖1．易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．結(jié)合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ=DA=1；
②連接AQ，如圖2，根據(jù)勾股定理可求出BP．易證Rt△AQB∽Rt△BCP，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出BQ，從而求出PQ的值，就可得到 的值；
③過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥DC于H，如圖3．易證△PHQ∽△PCB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出QH，從而可求出S△DPQ的值；
④過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AD于N，如圖4．易得DP∥NQ∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得，把AN=1-DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中運(yùn)用三角函數(shù)的定義，就可求出cos∠ADQ的值．

連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得．

結(jié)合，可證到，從而證到≌，

則有．

故正確；

連接AQ，如圖2．

則有，．

易證∽，

運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得，

則，

．

故正確；

過(guò)點(diǎn)Q作于H，如圖3．

易證∽，

運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得，

．

故錯(cuò)誤；

過(guò)點(diǎn)Q作于N，如圖4．

易得，

根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得，

則有，

解得：．

由，得．

故正確．

綜上所述：正確結(jié)論是①②④．

故答案為：①②④．