Question

如圖，已知正方形ABCD的各邊中點分別為E、F、G、H．點M為直線BC上一動點，以線段EM為邊長作正方形EMNP．
（1）如圖①，當M點在點B的左側(cè)時，請你判斷FM和HP有何數(shù)量關(guān)系？點P是否在直線FH上？
（2）如圖②，當M點在BC邊上時，請你判斷FM和HP有何數(shù)量關(guān)系？點P是否在直線FH上？
（3）如圖③，當M點在點C的右側(cè)時，請你判斷FM和HP有何數(shù)量關(guān)系？點P是否在直線FH上？請分別寫出各小題的結(jié)論，并從三小題中任選一題證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF、EH，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根據(jù)同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“邊角邊”證明△MEF和△PEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得點E到PH的距離等于點E到MF的距離，也就是正方形ABCD邊長的一半，所以點P在直線FH上；
（2）連接EF、EH，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根據(jù)同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“邊角邊”證明△MEF和△PEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得點E到PH的距離等于點E到MF的距離，也就是正方形ABCD邊長的一半，所以點P在直線FH上；
（3）連接EF、EH，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根據(jù)同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“邊角邊”證明△MEF和△PEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得點E到PH的距離等于點E到MF的距離，也就是正方形ABCD邊長的一半，所以點P在直線FH上．
解答：解：（1）FM=HP，P在直線FH上．
理由如下：如圖，連接EF、EH，
∵E、F、H分別是邊AB、BC、AD的中點，
∴AE=EB=BF=AH，
∴△AEH≌△BEF，且都是等腰直角三角形，
∴EF=EH，∠AEH=∠BEF=45°，
∴∠FEH=180°-45°×2=90°，
又∵∠MEF+∠FEP=90°，∠FEH=∠PEH+∠FEP=90°，
∴∠MEF=∠PEH，
在△MEF和△PEH中，，
∴△MEF≌△PEH（SAS），
∴FM=HP，
∴點E到HP與點E到FM的距離相等，
∵點E到FM的距離等于BE，即正方形邊長的一半，
∴點E到HP的距離等于正方形ABCD的邊長的一半，
∴點P在直線FH上；


（2）（3）的證明與（1）完全相同．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角是解題的關(guān)鍵，在幾何中，證明兩邊相等，通常利用兩邊所在的三角形全等進行證明，這是常用方法，希望同學(xué)們熟練掌握并靈活應(yīng)用．