Question

如圖所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，對角線AC與BD交于O，∵∠ACD=60°，點(diǎn)S、P、Q分別是OD，OA，BC的中點(diǎn)．
求證：△PQS是等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),等邊三角形的判定,直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD與△OAB均為等邊三角形，連接CS，BP根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知△BCS與△BPC為直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)可知QS=BP=

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BC，由中位線定理可知，QS=QP=PS=

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BC，故△PQS是等邊三角形．

解答：證明：連CS，BP，

∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AC與BD相交于O，
∴AC=BD，
在△CAB和△DBA中，

CA=DB AB=AB BC=AD

∴△CAB≌△DBA（SSS），
∴∠CAB=∠DBA，
同理可得出：∠ACD=∠BDC，
∴AO=BO，CO=DO，
∵∠ACD=60°，
∴△OCD與△OAB均為等邊三角形．
∵S是OD的中點(diǎn)，
∴CS⊥DO，
在Rt△BSC中，Q為BC中點(diǎn)，SQ是斜邊BC的中線，
∴SQ=

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BC，
同理BP⊥AC，
在Rt△BPC中，PQ=

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2

BC，
又∵SP是△OAD的中位線，
∴SP=

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AD=

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BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形的三角形的中位線定理及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．