Question

△ABC內接于⊙O，BC為⊙O直徑，∠ACB=60°，AD為∠BAC的平分線交⊙O于D，BE⊥AD于E交⊙O于F，連AF、CD，OG⊥AF于G，BH⊥AF于H交AE于K，下列結論：①OG=

1

2

DC；②OF=KF；③

OE

AC

=

3 -1

2

，其中正確的有（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：過O點作OM⊥BF于點M，連OA，設⊙O的半徑為r，圖形較復雜，在解題中要學會分解圖形和圖形中的已知和已經證出的結論要記�。�由BC為⊙O直徑得到∠BAC=90°，而AD為∠BAC的平分線，可得到弧DB=弧DC，利用垂徑定理的推論得OD⊥BC，則△ODC為等腰直角三角形，DC=

2

OC=

2

r，再通過角度的計算可得到△OGF為等腰直角三角形，則OG=

2

2

OF=

2

2

r，于是有OG：DC=

2

2

r：

2

r=

1

2

，即OG=

1

2

DC；
通過證明Rt△KFH≌Rt△OFM得到KF=OF；
先證明△OME為等腰直角三角形得到OM=

2

2

OE，延長GO交BF于N點，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到ON=2OM=

2

OE，NM=

3

OM=

6

2

OE，則BN=NO=

2

OE，BM=

2

OE+

6

2

OE=（

2

+

6

2

）OE，然后利用勾股定理得到r²=（

2

2

OE）²+[（

2

+

6

2

）OE]²，則OE：r=（

3

-1）：2，而AC=

1

2

BC=r，于是

OE

AC

=

3 -1

2

．

解答：解：過O點作OM⊥BF于點M，連OA，設⊙O的半徑為r，如圖，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
∴△ODC為等腰直角三角形，
∴DC=

2

OC=

2

r，
∵∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
而BE⊥AD，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBF=15°，
∴∠FAC=15°，
∵BH⊥AF，
∴∠BAH=90°-15°=75°，
∴∠ABH=90°-∠BAH=15°，
∴∠HBC=15°，
∵OG⊥AF，
∴OG∥BH，
∴∠GOC=∠HBC=15°，
而∠COF=2∠OBF=30°，
∴∠GOF=∠GOC+∠COF=15°+30°=45°，
∴△OGF為等腰直角三角形，
∴OG=

2

2

OF=

2

2

r，
∴OG：DC=

2

2

r：

2

r=

1

2

，即OG=

1

2

DC，所以①正確；

∵EA=EB，∠EAF=∠EBK，
∴Rt△AEF≌Rt△BEK，
∴EF=EK，
∴△EKF為等腰直角三角形，
∴∠EKF=45°，
∴∠AFK=∠EKF-∠KAF=45°-30°=15°，
在Rt△BFH中，∠HBF=30°，
∴HF=

1

2

BF，
而MF=

1

2

BF，
∴HF=MF，
∵∠OFM=∠OBF=15°，
∴Rt△KFH≌Rt△OFM，
∴KF=OF，所以②正確；

∵OA=OB，EA=EB，
∴△EAO≌△EBO，
∴∠OEB=∠OEA=

1

2

×90°=45°，
∴△OME為等腰直角三角形，
∴OM=

2

2

OE，
延長GO交BF于N點，如圖，
∴∠BON=∠GOC=15°，
∴∠ONM=15°×2=30°，
∴ON=2OM=

2

OE，NM=

3

OM=

6

2

OE，
∴BN=NO=

2

OE，
∴BM=

2

OE+

6

2

OE=（

2

+

6

2

）OE，
在Rt△OMB中，OB²=OM²+MB²，
∴r²=（

2

2

OE）²+[（

2

+

6

2

）OE]²，
整理得r²=[（

3

+1）OE]²，
∴OE：r=（

3

-1）：2，
∵在Rt△ABC中，AC=

1

2

BC=r，
∴

OE

AC

=

3 -1

2

，所以③正確．
故選D．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂徑定理及其推論和圓周角定理及其推論在圓的證明題中經常用到，要熟練掌握；同時等腰直角三角形和含30°的直角三角形的性質會運用；勾股定理以及三角形全等的判定與性質會運用．