如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍．

證明：設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P．
在△BDQ中，BQ2+DQ2=2PQ2+2•2=2PQ2+
即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①
在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，
所以BQ2=（2AB2+2BC2-AC2）．②
在△ACD中，QD是AC邊上的中線，
所以DQ2=（2AD2+2DC2-AC2）．③
將②，③代入①得（2AB2+2BC2-AC2）+（2AD2+2DC2-AC2）
=4PQ2+BD2，
即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
分析：對(duì)角線中點(diǎn)連線為PQ，可看作△BDQ的中線，分別計(jì)算BQ2，DQ2，代入2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．即可計(jì)算出即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中分別求BQ2，DQ2，化簡(jiǎn)出2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上任意一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于F．
求證：FD=FE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)，連接MP，作∠MPQ=60°，交MC于點(diǎn)Q，求MQ的最小值；
（3）在（2）中：
①當(dāng)MQ取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)P在何處時(shí)，以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廈門）如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG，垂足為E，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．在線段AG上取點(diǎn)H，使得AG=DE+HG，連接BH．求證：∠ABH=∠CDE．

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