Question

（2009•惠山區(qū)二模）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖所示．已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）．
（1）試求a，b所滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為C，當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以得到關(guān)于a，b，c關(guān)系式．整理就得到a，b的關(guān)系．
（2）△ABC的面積可以求出是，利用公式求出拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△AMC的面積，根據(jù)，就可以得到關(guān)于a的方程，解得a的值．
（3）本題應(yīng)分A是直角頂點(diǎn)，B是直角頂點(diǎn)，C是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論．
解答：解：（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：，
可得：a+b=-1（2分）

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函數(shù)的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/201310201202525325782234/SYS201310201202525325782014_DA/4.png">，
由同底可知：，（3分）
整理得：a²+3a+1=0，
解得：（4分）
由圖象可知：a＜0，
因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)（0，1），頂點(diǎn)M在第二象限，其對稱軸x=，
∴-1＜a＜0，
∴舍去，
從而．（5分）

（3）①由圖可知，A為直角頂點(diǎn)不可能；（6分）
②若C為直角頂點(diǎn)，此時C點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，不合題意；（7分）
③若設(shè)B為直角頂點(diǎn)，則可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=
得：AC=1-，BC=，AB=．
則（1-）²=（1+）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合題意．
所以不存在．（9分）
綜上所述：不存在．（10分）
點(diǎn)評：本題值函數(shù)與三角形相結(jié)合的題目，注意數(shù)與形的結(jié)合是解題的關(guān)鍵．