Question

如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，DE=

1

2

CD．
（1）求證：△ABF∽△CEB
（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．
（3）若G、H分別為BF、AB的中點(diǎn)，AG、FH交于點(diǎn)O，求

OG

OA

．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)即可推出∠ABF=∠E，∠BAF=∠C，即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)很容易即可推出相互平行的邊和相等的角，即可推出△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，由DE=

1

2

CD，求出

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，然后即可推出相似三角形的面積之比，根據(jù)△DEF的面積為2，繼而求出S_△BFA，S_△EBC，再根據(jù)圖形求出S_梯形FDBC=16，最后計(jì)算出S_{平行四邊形ABCD}=16+8=24；
（3）根據(jù)題意可知GH為△ABF的中位線，推出GH∥AF，即可推出

OG

OA

=

GH

AF

=

1

2

．

解答：（1）證明：∵?ABCD，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴∠ABF=∠E，
又∵ABCD是平行四邊形，
∴∠BAF=∠C，
△ABF∽△CEB，

（2）解：∵∠ABF=∠E，∠AFB=∠EFD，
∴△ABF∽△DEF，
∵AD∥BC，
∴△CEB∽△DEF，
∵DE=

1

2

CD，
∴

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，
∴

S△EFD

S△BFA

=(

ED

AB

)2=

1

4

，

S△EFD

S△EBC

=(

ED

EC

)2=

1

9

，
∵△DEF的面積為2，
∴S_△BFA=8，S_△EBC=18，
∴S_梯形FDBC=18-2=16，
∴S_{平行四邊形ABCD}=16+8=24，

（3）解：∵G、H為中點(diǎn)，
∴GH∥AF，2GH=AF，
∴OG：OA=HG：AF=1：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求證相關(guān)的三角形全等，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)圖形之間的關(guān)系．