(1)解:
如圖;
(2)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
而DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB,
∴Rt△ADE∽Rt△ABD,
∴AD:AB=AE:AD,
∴AD
2=AE•AB;
(3)解:連OD、BC,它們交于點G,如圖,
∵5AC=3AB,即AC:AB=3:5,
∴不妨設AC=3x,AB=5x,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵∠CAD=∠DAB,
∴弧DC=弧DB,
∴OD垂直平分BC,
∴OD∥AE,
∴OG=
AC=
x,∠AED=90°,
∴四邊形ECGD為矩形,
∴CE=DG=OD-OG=
x-
x=x,
∴AE=AC+CE=3x+x=4x,
∵AE∥OD,
∴△AEF∽△DOF,
∴AE:OD=EF:OF,
∴EF:OF=4x:
x=8:5,
∴
=
=
.
分析:(1)根據基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點D;點D作AC的垂線,垂足為點E;
(2)根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°,而DE⊥AC,則∠AED=90°,又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB,根據相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD,根據相似的性質得到AD:AB=AE:AD,利用比例的性質即可得到AD
2=AE•AB;
(3)連OD、BC,它們交于點G,由5AC=3AB,則不妨設AC=3x,AB=5x,根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB,根據垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC,則有OD∥AE,OG=
AC=
x,并且得到四邊形ECGD為矩形,則CE=DG=OD-OG=
x-
x=x,可計算出AE=AC+CE=3x+x=4x,利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF,則AE:OD=EF:OF,即EF:OF=4x:
x=8:5,
然后根據比例的性質即可得到
的值.
點評:本題考查了圓的綜合題:平分弦所對的弧的直徑垂直平分弦;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等;直徑所對的圓周角為直角;運用相似三角形的判定與性質證明等積式和幾何計算;掌握基本的幾何作圖.