Question

將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°。
小題1:(1)將圖1中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是與BC的交點(diǎn)，求證：=；
小題2:(2)在圖2中,若AP₁=,則CQ等于多少?
小題3:(3)將圖2中△繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△（如圖3），點(diǎn)與AP₁的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí),有△A P₁C∽△CP₁P₂? 這時(shí)線段之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系?.

Answer 1

小題1:⑴證明：∵∠B₁CB＝45°，∠B₁CA₁＝90°，∴∠B₁CQ＝∠BCP₁＝45°；
又B₁C＝BC，∠B₁＝∠B，∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）∴CQ＝CP₁
小題2:⑵解：作P₁D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P₁D＝AP₁；
∵∠P₁CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP₁＝P₁D＝AP₁；
又AP₁＝，CQ＝CP₁ ，∴CQ＝
小題3:⑶解：當(dāng)∠P₁CP₂＝∠P₁AC＝30°時(shí)，由于∠CP₁P₂＝∠AP₁C，
則△AP₁C∽△CP₁P₂，    這時(shí)，
∴P₁P₂＝CP₁ ．        

略