平面直角坐標系中,拋物線軸于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與軸交于點C,點A、C的坐標分別為(-3,0),(0,3),對稱軸直線軸于點E,點D為頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AC下方的拋物線上一點,且,,求點P的坐標;
(3)點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點,且∠MAC=∠ADE,求點M的坐標.

(1)y=-x2-2x+3;(2)(-4,-5)或(1,0);(3)(,).

解析試題分析:(1)由已知中點A、C的坐標分別為(-3,0),(0,3),對稱軸為直線x=-1,得出B點坐標,進而利用交點式求出即可求出拋物線的解析式;
(2)由已知中C點坐標,再假設(shè)出P點坐標,可求出直線PC解析式,求出R點坐標,進而根據(jù)S△PAC=2S△DAC,可得點P的坐標;
(3)過點C作CH⊥DE交DE于點H,設(shè)AC交對稱軸于點G,AM交y軸于點N,由∠MAC=∠ADE,可得N點坐標,進而求出CN的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點坐標.
(1)由對稱軸x=-1,A(-3,0),可得B點坐標(1,0)
設(shè)y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入得,4=-8a,
解得:a=-1,
所求解析式為:y=-x2-2x+3;
(2)如圖:y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,頂點D(-1,4),

由A(-3,0)、C(0,3),得直線AC解析式為y=x+3;
設(shè)對稱軸交AC于點G,則G(-1,2),∴S△DAC=(4-2)×3=3,
設(shè)P點(m,-m2-2m+3),
設(shè)PC解析式為:y=qx+p,
,
解得:k=-m-2,
∴PC解析式為:y=(-m-2)x+3,
設(shè)PC與x軸交于點R,
∴R(,0),
∴AR=3+,
∴S△APR+S△CAR=(3+)×(m2+2m-3)+×(3+)×3=+,
則S△PAC=+
由S△PAC=2S△DAC,∴+=2×3,
解得:m1=-4,m2=1,
把m1=-4,m2=1分別代入y=-x2-2x+3中,
∴y1=-5,y2=0,
∴P點坐標為(-4,-5)或(1,0);
(3)由以上可得出:D(-1,4),C(0,3),E(-1,0),
如備用圖:過點C作CH⊥DE交DE于點H,

∴H(-1,3),CH=DH=1,∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°,
∴CD=,AC=3,△ACD為直角三角形,且tan∠DAC=
設(shè)AC交對稱軸于點G,AM交y軸于點N,
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°,∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°,∠ADE=∠CAM,∠DAC=∠MAO,
∴tan∠MAO=
∵A(-3,0),
∴ON=1,即N(0,1),
設(shè)直線CN解析式為:y=dx+h

解得:,
∴直線CN解析式為y=x+1,
聯(lián)立方程
得:x=-3(舍)或x=,
∴點M的坐標為().
考點:二次函數(shù)綜合題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知拋物線y=x2+bx+c過點(-6,-2),與y軸交于點C,且對稱軸與x軸交于點B(-2,0),頂點為A.
(1)求該拋物線的解析式和A點坐標;
(2)若點D是該拋物線上的一個動點,且使△DBC是以B為直角頂點BC為腰的等腰直角三角形,求點D坐標;
(3)若點M是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點,經(jīng)過點M的直線MN與y軸交于點N,是否存在以O(shè)、M、N為頂點的三角形與△OMB全等?若存在,請求出直線MN的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,若已知A點的坐標為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸;
(2)求點C的坐標,連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如果一條拋物線軸有兩個交點,那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(1)“拋物線三角形”一定是       三角形;
(2)如圖,△OAB是拋物線的“拋物線三角形”,是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過O、C、D三點的拋物線的表達式;若不存在,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若以點E為圓心,r為半徑的圓與線段AD只有一個公共點,求出r的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知:二次函數(shù)中的滿足下表:


……

0
1
2
3
……

……
0




……
(1)求的值;
(2)根據(jù)上表求時的的取值范圍;
(3)若,兩點都在該函數(shù)圖象上,且,試比較的大小.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的邊AB在x軸上,∠ABC=90°,AB=BC,OA=1,OB=4,拋物線經(jīng)過A、C兩點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點坐標;
(2)如圖①,點P是拋物線上位于x軸下方的一點,點Q與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點P、Q分別向x軸作垂線,垂足為點D、E,記矩形DPQE的周長為d,求d的最大值,并求出使d最大值時點P的坐標;
(3)如圖②,點M是拋物線上位于直線AC下方的一點,過點M作MF⊥AC于點F,連接MC,作MN∥BC交直線AC于點N,若MN將△MFC的面積分成2:3兩部分,請確定M點的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

函數(shù)y =ax²(a≠0)與直線y =2x-3的圖像交于點(1,b).
求:(1)a和b的值;
(2)求拋物線y =ax²的開口方向、對稱軸、頂點坐標。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系xOy中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”,已知點C的坐標為(0,-),點M是拋物線C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點.

(1)求A、B兩點的坐標;
(2)“蛋線”在第四象限內(nèi)是否存在一點P,使得∆PBC的面積最大?若存在,求出∆PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當∆BDM為直角三角形時,請直接寫出m的值.(參考公式:在平面直角坐標系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),則M、N兩點間的距離為MN=.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,且與y軸交于D(0,3),直線l是拋物線的對稱軸.

(1)求該拋物線的解析式.
(2)若過點A(﹣1,0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,求此直線的解析式.
(3)點P在拋物線的對稱軸上,⊙P與直線AB和x軸都相切,求點P的坐標.

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