如圖,n+1個邊長為1的等邊三角形一邊均在同一直線上,設(shè)△BMN面積為S,△B1M1N1面積為S1,△B2M2N2面積為S2,…,△BnMnNn的面積記為Sn,則:
①S=
3
8
3
8
,
②請你計(jì)算歸納S1,S2,…,可得S1+S2+…+S2011=
2011
16104
3
2011
16104
3
分析:①連接BB1,由于△BAN是邊長為1的等邊三角形,則S△BAN=
3
4
.由于BN∥B1A且BN=B1A,則四邊形BNAB1是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得出BM=AM,則S=
1
2
S△BAN=
3
8
;
②連接B1、B2、B3…Bn點(diǎn),顯然它們共線且平行于NAn,則B1B2∥NA,△B1B2N1∽△ANN1,△B1B2M1∽△A2NM1,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出B1N1:AN1=B1B2:AN=1,B1M1:M1A2=B1B2:A2N=1:2,然后根據(jù)三角形的面積公式得出S1=
1
2
×
1
3
S△BAN,同理,可求出S2=
1
3
×
1
4
S△BAN,…,S2011=
1
2012
×
1
2013
S△BAN,最后將它們相加即可.
解答:解:①連接BB1
∵△BAN是邊長為1的等邊三角形,∴S△BAN=
3
4

∵∠BNA=∠B1AA2=60°,∴BN∥B1A,
∵BN=B1A,∴四邊形BNAB1是平行四邊形,
∴BM=AM,
∴S=
1
2
S△BAN=
3
8
;

②連接B1、B2、B3…Bn點(diǎn),顯然它們共線且平行于NAn,則B1B2∥NA,
∴△B1B2N1∽△ANN1,△B1B2M1∽△A2NM1
∴B1N1:AN1=B1B2:AN=1,B1M1:M1A2=B1B2:A2N=1:2,
∴B1N1=
1
2
AB1,B1M1=
1
3
A2B1,
∴S1=
1
2
×B1N1×B1M1sin∠N1B1M1=
1
2
×
1
2
AB1×
1
3
A2B1sin∠N1B1M1=
1
2
×
1
3
S△BAN=(
1
2
-
1
3
)S△BAN
同理,△B2B3N2∽△A2NN2,△B2B3M2∽△A3NM2,
∴B2N2:A2N2=B2B3:A2N=1:2,B2M2:M2A3=B2B3:A3N=1:3,
∴B2N2=
1
3
A2B2,B2M2=
1
4
A3B2
∴S2=
1
2
×B2N2×B2M2sin∠N2B2M2=
1
2
×
1
3
A2B2×
1
4
A3B2=
1
3
×
1
4
S△BAN=(
1
3
-
1
4
)S△BAN,
…,
∴S2011=
1
2012
×
1
2013
S△BAN=(
1
2012
-
1
2013
)S△BAN,
∴S1+S2+…+S2011=(
1
2
-
1
3
)S△BAN+(
1
3
-
1
4
)S△BAN+…+(
1
2012
-
1
2013
)S△BAN=(
1
2
-
1
2013
)S△BAN=
2011
4026
×
3
4
=
2011
16104
3

故答案為:①
3
8
;②
2011
16104
3
點(diǎn)評:本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的定義和性質(zhì)、三角形的面積公式等知識點(diǎn)、本題關(guān)鍵在于作好輔助線,得到相似三角形,求出相似比,就很容易得出答案了,意在提高同學(xué)們總結(jié)歸納的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖是由36個邊長為1的小正方形拼成的,連接小正方形中的點(diǎn)A、B、C、D、E、F得線段AB、BC、CD、EF,這些線段中長度是有理數(shù)的是哪些?長度是無理數(shù)的是哪些?說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,通過計(jì)算S1,S2,…,的值,歸納出Sn的表達(dá)式(用含n的式子表示).
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•南昌)如圖,有兩個邊長為2的正方形,將其中一個正方形沿對角線剪開成兩個全等的等腰直角三角形,用這三個圖片分別在網(wǎng)格備用圖的基礎(chǔ)上(只要再補(bǔ)出兩個等腰直角三角形即可),分別拼出一個三角形、一個四邊形、一個五邊形、一個六邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,有兩個邊長為2的等邊三角形,將其中一個等腰三角形沿一邊的高剪開成兩個全等的直角三角形,用這三個圖分別在備用圖的基礎(chǔ)上,拼出一個三角形,一個矩形,一個菱形,一個等腰梯形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知△ABC,AB=3,BC=
5
,AC=2
2
,如圖是由81個邊長為1的小正方形組成的9×9的正方形網(wǎng)格,將頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形.
(1)請你在所給的網(wǎng)格中畫出一格點(diǎn)△A1B1C1與△ABC全等.
(2)畫出格點(diǎn)△A2B2C2與△A1B1C1全等,且△A2B2C2的三邊與△A1B1C1的三邊對應(yīng)垂直.
(3)直接寫出所給的網(wǎng)格中與△A1B1C1相似,與△A1B1C1的三邊對應(yīng)垂直的最大網(wǎng)格三角形的面積S=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案