Question

如圖，在圓O中，直徑AB=10，C、D是上半圓

AB

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．弦AC與BD交于點(diǎn)E，則AE•AC+BE•BD=

 

．

Answer 1

分析：連接AD、BC構(gòu)造出兩個(gè)直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，進(jìn)行整式變形即可求解．

解答：解：連接BC，AD，
根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根據(jù)相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC²-AC•CE+BD²-BD•DE
=100-BC²+100-AD²-AC•CE-BD•DE
=200-BE²+CE²-AE²+DE²-AC•CE-BD•DE
=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=100．

點(diǎn)評(píng)：此題要熟練運(yùn)用相交弦定理、勾股定理以及整式的變形整理．