Question

如圖①、②、③是兩個半徑都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合狀態(tài)沿水平方向運動到互相外切過程中的三個位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，分別連結O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB。
(1)如圖②，當∠AO₁B=120°時，求兩圓重疊部分圖形的周長l；
(2)設∠AO₁B的度數(shù)為x，兩圓重疊部分圖形的周長為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)在(2)中，當重疊部分圖形的周長時，則線段O₂A所在的直線與⊙O₁有何位置關系？請說明理由.除此之外，它們是否還有其它的位置關系？如果有，請直接寫出其它位置關系時的x的取值范圍.

Answer 1

（1） （2）（0≤x≤180） （3）O₂A與⊙O₁相切；當0≤x≤90和0≤x≤180時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交

試題分析：（1）解法一、依對稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°, ∴
解法二、∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B
∴AO₁BO₂是菱形   ∴∠AO₂B=∠AO₁B=120° ∴l=2×=
(2)∵由（1）知，菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B=x度,
∴重疊圖形的周長,   即（0≤x≤180）
(3) 當時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相切！
理由如下：∵，由（2）可知：，    解之x=90度
∴AO₁B=90°,因此菱形AO₁BO₂是正方形，∴O₁AO₂=90°,即O₂A⊥O₁A,
而O₁A是⊙O₁的半徑，且A為半徑之外端；∴O₂A與⊙O₁相切。
還有如下位置關系：當0≤x≤90和0≤x≤180時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，掌握判定直線與圓的位置關系是解本題的關鍵，會求函數(shù)的解析式，本題難度比較大