Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P，Q移動的時(shí)間為t（s）．當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：若△APQ與△AOB相似，則因?yàn)锳與A對應(yīng)，所以只有兩種情況，P與O對應(yīng)或者P與B對應(yīng)．

解答：解：若△APQ與△AOB相似，有兩種情況．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）．
（1）當(dāng)P與O對應(yīng)時(shí)，△APQ∽△AOB，

AP

AO

=

AQ

AB

，

t

6

=

10-2t

10

，即t=

30

11

s，
∴AP=

30

11

，
∴OP=0A-AP=

36

11

．
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，
過Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=

36

11

，
P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）

（2）當(dāng)P與O對應(yīng)時(shí)，△APQ∽△AOB，
∴

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
∴AP=

30

11

，OP=OA-AP=

36

11

，
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，y=QBsinB=

60

11

×

6

10

=

36

11

．
所以P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

），
當(dāng)P與B對應(yīng)時(shí)，△APQ∽△ABO，
∴

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
∴AP=

50

13

，OP=OA-AP=

28

13

．
∴BQ=

100

13

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

100

13

×

8

10

=

24

13

，y=QBsinB=

100

13

×

6

10

=

60

13

．
所以P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

），
綜上，P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）或者P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

）．

點(diǎn)評：判斷△APQ與△AOB相似有兩種情況是做本題的關(guān)鍵．