Question

（2009•婁底）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4．
（1）探究m滿足什么條件時(shí)，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，與y軸的交點(diǎn)為C，它的頂點(diǎn)為M，求直線CM的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△=b²-4ac可寫(xiě)出用m表示的△關(guān)系式，分別討論m在取不同的值時(shí)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可把x₁²+x₂²轉(zhuǎn)換為m的表達(dá)式，由此可得方程2m²-10m-7=5，求出m的值可得二次函數(shù)解析式；則根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可求出頂點(diǎn)M及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，使用代入法可求得直線CM的解析式．
解答：解：（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15，
當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即-16m-15＞0，
∴m＜-，
此時(shí)y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即-16m-15=0，
∴m=-，
此時(shí)，y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即-16m-15＜0，
∴m＞-，
此時(shí)y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
∴當(dāng)m＜-時(shí)，y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m=-時(shí)，y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m＞-時(shí)，y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7，
∵x₁²+x₂²=5，
∴2m²-10m-7=5，
∴m²-5m-6=0，
解得：m₁=6，m₂=-1，
∵m＜-，
∴m=-1，
∴y=x²+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），
又y=x²+3x+2=（x+）²-，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，-），
設(shè)過(guò)C（0，2）與M（-，-）的直線解析式為y=kx+b，
解得k=，b=2，
∴所求的解析式為y=x+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程中△的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類(lèi)討論問(wèn)題的能力；需注意靈活運(yùn)用一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系的求函數(shù)解析式；求函數(shù)解析式一般要用待定系數(shù)法．