Question

.如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P。

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值。（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）

Answer 1

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴解得 ∴拋物線解析式為y=x2-4x+3； （2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴對稱軸為x=2，頂點坐標為P（2，-1）， ∴滿足條件的點M分別為M1（2，7），M2（2，2-1），M3，M4（2，-2-1）； （3）由（1），得A（1，0），連接BP， ∵∠CBA=∠ABP=45°， ∴當時，△ABC∽△PBQ， ∴BQ=3， ∴Q1（0，0）， ∴當時，△ABC∽△QBP， ∴BQ=， ∴Q2； （4）當0＜x＜3時， 在此拋物線上任取一點E連接CE、BE， 經過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F， 設點F（x，-x+3），點E（x，x2-4x+3）， ∴EF=-x2+3x， ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x=， ∵a=-＜0， ∴當x=時，S△CBE有最大值， ∴y=x2-4x+3=-， ∴E。