如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個 邊長為1的小三角形，若
m
n
=
41
9
，則△ABC的周長是
15
15
．
分析：設正△ABC的邊長為x，根據等邊三角形的高為邊長的
3
2
 倍，求出正△ABC的面積，再根據菱形的性質結合圖形表示出菱形的兩對角線，然后根據菱形的面積等于兩對角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據所分成的小正三角形的個數(shù)的比等于面積的比列式計算即可得解．
解答：解：設正△ABC的邊長為x，則高位
3
2
x，
S△ABC=
1
2
x•
3
2
x=
3
4
x2，
∵所分成的三角形都是正三角形，
∴結合圖形可得黑色菱形的較長的對角線的長是
3
2
x-
3
，較短對角線的長為（
3
2
x-
3
）•
3
3
=
1
2
x-1，
∴黑色菱形的面積是
1
2
•（
3
2
x-
3
）•（
1
2
x-1）=
3
8
（x-2）2，
∴
m
n
=
3
4
x2-
3
8
(x-2)2
3
8
(x-2)2
=
41
9
，
4x2-25x+25=0，
解得：x1=
5
4
（因為分成邊長為1的正三角形，所以此數(shù)不符合舍去），x2=5，
∴△ABC的周長是3×5=15，
故答案為：15．
點評：本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握有一個角等于60°的菱形的兩條對角線的關系是解題的關鍵，本題難點在于根據三角形的面積與菱形的面積列出方程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，正△ABC和正△FDE，F(xiàn)與B重合，AB與FD在一條直線上．
（1）若將△FDE繞點B旋轉一定角度（如圖2），試說明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=2
3
，把圖1中的△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°（如圖3），試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；
（3）若把圖1中的正△FDE沿BA方向平移（如圖4），連接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長分別是5cm和2
3
cm，問在平移過程中，△ABE是否會成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．       精英家教網

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，將邊長為15的正方形OEFP置于直角坐標系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合，邊長為2
3
的等邊△ABC的邊BC垂直于x軸，△ABC從點A與點O重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向右平移，當BC邊與直線EF重合時，繼續(xù)以同樣的速度向上平移，當點C與點F重合時，△ABC停止移動．設運動時間為x秒，△PAC的面積為y．
（1）當x為何值時，P、A、B三點在同一直線上，求出此時A點的坐標；
（2）在△ABC向右平移的過程中，當x分別取何值時，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在△ABC移動的過程中，請你就△PAC面積大小的變化情況提出一個綜合論斷．精英家教網

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科目：初中數(shù)學 來源：邊城中學2006－2007年第一學期中學數(shù)學試題 題型：059

如圖1，正△ABC和正△FDE，F(xiàn)與B重合，AB與FD在一條直線上．

(1)若將△FDE繞點B旋轉一定角度(如圖2)，試說明CD＝AE；

(2)已知AB＝6，DE＝，把圖(1)中的△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°(如圖3)，試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；

(3)若把圖(1)中的正△FDE沿BA方向平移(如圖4)，連結AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長分別是5 cm和 cm，問在平移過程中，△ABE是否會成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，正△ABC和正△FDE，F(xiàn)與B重合，AB與FD在一條直線上．
（1）若將△FDE繞點B旋轉一定角度（如圖2），試說明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=數(shù)學公式，把圖1中的△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°（如圖3），試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；
（3）若把圖1中的正△FDE沿BA方向平移（如圖4），連接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長分別是5cm和數(shù)學公式cm，問在平移過程中，△ABE是否會成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．　　　

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科目：初中數(shù)學 來源：2006-2007學年江蘇省泰州市興化市邊城中學九年級（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖1，正△ABC和正△FDE，F(xiàn)與B重合，AB與FD在一條直線上．
（1）若將△FDE繞點B旋轉一定角度（如圖2），試說明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=，把圖1中的△FDE繞點B逆時針方向旋轉90°（如圖3），試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；
（3）若把圖1中的正△FDE沿BA方向平移（如圖4），連接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長分別是5cm和cm，問在平移過程中，△ABE是否會成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．       

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