1.如圖,點A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$(x<0)上一點,AO的延長線交雙曲線y=$\frac{{k}^{2}}{x}$(x>0,k>0)于點B,BC⊥x軸,若S△ABC=7.5,則k的值為3.

分析 過點A作AD⊥y軸于點D,則△AOD∽△OBC,由相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$,再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出SAOD=$\frac{1}{2}$×4=2、SOBC=$\frac{1}{2}$k2,結(jié)合三角形的面積公式以及S△ABC=7.5即可得出關(guān)于|k|的一元二次方程,解之即可得出|k|的值,結(jié)合k>0即可得出結(jié)論.

解答 解:過點A作AD⊥y軸于點D,如圖所示.
∵AD⊥y軸,BC⊥x軸,
∴AD∥OC,∠ADO=∠OCB=90°,
∴∠OAD=∠BOC,
∴△AOD∽△OBC,
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$.
∵SAOD=$\frac{1}{2}$×4=2,SOBC=$\frac{1}{2}$k2,
∴$\frac{AD}{OC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$=$\frac{2}{|k|}$,
∴SAOC=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$$\frac{|k|}{2}$AD•OD=|k|.
∵S△ABC=SOBC+SOBC=$\frac{1}{2}$k2+|k|=7.5,
解得:|k|=3或|k|=-5(舍去),
∵k>0,
∴k=3.
故答案為:3.

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程,根據(jù)三角形的面積公式找出關(guān)于|k|的一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

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