Question

如圖，將拋物線(xiàn)y=

1

3

x2平移得到拋物線(xiàn)m，拋物線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)y=

1

3

x2交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：連結(jié)OQ、OP，如圖，先利用交點(diǎn)時(shí)寫(xiě)出平移后的拋物線(xiàn)m的解析式，再用配方得到頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x+3）²-9，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-9），拋物線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-3，于是可計(jì)算出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，3），所以點(diǎn)Q與P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，于是得到圖中陰影部分的面積，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．

解答：解：如圖，連結(jié)OQ、OP，
平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=（x+6）•x=x²+6x=（x+3）²-9，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-9），
拋物線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=

1

3

x²=3，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，3），
由于拋物線(xiàn)y=

1

3

x²向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到拋物線(xiàn)y=（x+3）²-9，
所以圖中陰影部分的面積=S_△OPQ=

1

2

×3×（3+3）=9．
故答案為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線(xiàn)平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線(xiàn)解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．