Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12 cm，BC=12cm；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始沿CA以2 cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC以 2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q、R分別從C、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s．

（1）∠CAB的度數(shù)是；
（2）以CB為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O相切？
（3）寫(xiě)出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值及相應(yīng)的t值；
（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30°
（2）解：如圖1，連接OP，OM．

當(dāng)PM與⊙O相切時(shí)，有∠PMO=∠PCO=90°，

∵M(jìn)O=CO，PO=PO，

∴Rt△PMO≌Rt△PCO，

∴∠MOP=∠COP；

由（1）知∠OBA=60°，

∵OM=OB，

∴△OBM是等邊三角形，

∴∠BOM=60°，

∴∠MOP=∠COP=60°，

∴CP=COtan∠COP=6tan60°=6 ，

又∵

∴2 t=6

∴t=3，

即：t=3s時(shí)，PM與⊙O相切；

（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，

∵∠BAC=30°，AQ=4t，

∴ AE=AQcos∠BAC=4tcos30°=2 t，

∴

∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR

，

∴當(dāng)t=3s時(shí)， cm2；

（4）解：存在．如圖3，

分三種情況：

①PQ1=AQ1=4t時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q1作Q1D⊥AC于點(diǎn)D，

則 ，

∴ ，

∴t=2；

②當(dāng)AP=AQ2=4t時(shí)，

∵ ，

∴ ，

③當(dāng)PA=PQ3=4t時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，

AH=PAcos30°= =18﹣3tAQ3=2AH=36﹣6t，

∴36﹣6t=4t，

∴t=3.6，

綜上所述，當(dāng) s時(shí)，△APQ是等腰三角形．

【解析】解：（1）∵∠C=90°，CA=12 cm，BC=12cm，

∴tan∠CAB= ，

∴∠CAB=30°，

所以答案是：30°；

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)；分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．