Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D。
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，則△POD與△PDG的面積之比為 _________ ；
（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，則OP的長為 _________ 。

Answer 1

解：（1）①過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90 °
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD

②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴。

（2）①若PC與邊OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
∴△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=ED=OD=1
②若PC與邊OA的反向延長線相交
過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，
∵∠PED＞∠EDC
∴△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°
∴OP=OC．設OP=x，則OH=ON=
∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣
∵HC=HO+OC=+x
∴1﹣=+x
∴x=
即OP=