Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為（4，0），（0，3），現(xiàn)有兩動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒。
（1）填空：菱形ABCD的邊長是_______、面積是______、 高BE的長是_______；
（2）探究下列問題：
①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式，以及S的最大值；
②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中，任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形，請?zhí)骄慨攖=4秒時的情形，并求出k的值。

Answer 1

解：（1）5，24，；

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t， 如圖1，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE， ∴， ∴QG=，  ∴（≤t≤5）， ∵（≤t≤5）， ∴當t=時，S最大值為6； ② 要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只需△APQ為等腰三角形即可， 當t=4秒時， ∵點P的速度為每秒1個單位， ∴AP=4， 以下分兩種情況討論： 第一種情況：當點Q在CB上時， ∵PQ≥BE>PA， ∴只存在點Q1，使Q1A=Q1P， 如圖2，過點Q1作Q1M⊥AP，垂足為點M，Q1M交 AC于點F，則AM=， 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得 ， ∴，  ∴， ∴CQ1=，則， ∴， 第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q2，Q3，分別使AP=AQ2，PA=PQ3， ①若AP=AQ2， 如圖3，CB+BQ2=10-4=6， 則， ∴， ②若PA=PQ3， 如圖4，過點P作PN⊥AB，垂足為N， 由△ANP∽△AEB，得， ∵AE=， ∴AN=， ∴AQ3=2AN=， ∴BC+BQ3=10-， 則， ∴， 綜上所述，當t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或。