解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=a(x-4)
2+m,
∵拋物線過C與原點O,
∴
,
解得:
,
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=-
(x-4)
2+
,
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
,
解得:
.
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為:y=
x+
,
∴點E的坐標為(4,
)
∴此拋物線過E點.
(2)過M作MQ∥y軸,交x軸于Q,交直線CN于P;
易知:N(8,0),C(2,2
);
可得直線CN的解析式為y=-
x+
;
設(shè)點Q的坐標為(m,0),則P(m,-
m+
),M(m,-
m
2+
m);
∴MP=-
m
2+
m-(-
m+
)=-
m
2+
m-
;
∴S=S
△CMN=S
△CPM+S
△MNP=
MP•|x
M-x
C|+
MP•|x
N-x
M|=
MP•|x
N-x
C|=
×(-
m
2+
m-
)×6=-
m
2+5
m-8
;
即S=-
(m-5)
2+
(2<m<8);
∵2<5<8,
∴當m=5時,Smax=
;
即△CMN的最大面積為
.
分析:(1)設(shè)直線x=4與x軸的交點為F,易證得△ABC∽△AFE,根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出EF的長,也就得到了E點的坐標;可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后將E點坐標代入其中進行判斷即可;
(2)過M作y軸的平行線,交直線CN于P,交x軸于Q;根據(jù)拋物線的解析式可求出N點的坐標,進而可求出直線CN的解析式,設(shè)出Q點的坐標,即可根據(jù)拋物線和直線的解析式求出MP的長;以MP為底,C、N的橫坐標差的絕對值為高即可得到△CMN的面積,由此可求出關(guān)于△CMN的面積與Q點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△CMN的最大面積.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點坐標及圖形面積的求法等重要知識點,綜合性強,能力要求較高.考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.