如圖,已知拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+8,圖象與y軸交于D點(diǎn),并且頂點(diǎn)A在雙曲線上.
(1)求過(guò)頂點(diǎn)A的雙曲線解析式;
(2)若開口向上的拋物線C2與C1的形狀、大小完全相同,并且C2的頂點(diǎn)P始終在C1上,證明:拋物線C2一定經(jīng)過(guò)A點(diǎn);
(3)設(shè)(2)中的拋物線C2的對(duì)稱軸PF與x軸交于F點(diǎn),且與雙曲線交于E點(diǎn),當(dāng)D、O、E精英家教網(wǎng)、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí),先求出P點(diǎn)坐標(biāo),并在直線y=x上求一點(diǎn)M,使|MD-MP|的值最大.
分析:(1)把拋物線C1的解析式化為頂點(diǎn)式即可求出A點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的雙曲線解析式即可;
(2)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),由點(diǎn)P(m,n)在拋物線C1上可得出n、m的解析式,再根據(jù)C1與C2的形狀、大小完全相同,開口向上,可設(shè)出拋物線C2的解析式,令x=1即可得出拋物線C2必經(jīng)過(guò)得點(diǎn);
(3)設(shè)拋物線C2的對(duì)稱軸為x=m,則OF=|m|,EF=|
9
m
|,由拋物線C1的解析式求出D點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)由D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形是梯形,由梯形的面積公式即可求出m的值,進(jìn)而可求出P1、P2兩點(diǎn)的坐標(biāo);
①當(dāng)點(diǎn)D、P1在直線y=x的同側(cè),連接P1D交直線y=x于點(diǎn)M1,則M1點(diǎn)即為所求點(diǎn),用待定系數(shù)法求出過(guò)D、P1兩點(diǎn)的直線解析式,根據(jù)此解析式與y=x有交點(diǎn)即可求出M1點(diǎn)的坐標(biāo);
②點(diǎn)D、P2在直線y=x的異側(cè),D點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為D′(8,0),連接D′P2交直線y=x于M2點(diǎn),則M2點(diǎn)即為所求點(diǎn),用待定系數(shù)法求出過(guò)D、P2兩點(diǎn)的直線解析式,根據(jù)此解析式與y=x有交點(diǎn)即可求出M2點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)由拋物線C1的解析式可得,y=-(x-1)2+9,
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,9)
設(shè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,9)的反比例函數(shù)解析式為y=
k
x
(k≠0),
把x=1,y=9代入得9=
k
1
,
解得k=9,
∴圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,9)的反比例函數(shù)的解析式為y=
9
x
;

(2)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),
∵點(diǎn)P(m,n)在拋物線C1上,
∴n=-m2+2m+8,
又∵C1與C2的形狀、大小完全相同,開口向上,
∴可設(shè)拋物線C2的解析式為y=(x-m)2+(-m2+2m+8)=x2-2mx+2m+8,
∴當(dāng)x=1時(shí),由拋物線C2的解析式得,y=1-2m+2m+8=9,
∴拋物線C2必經(jīng)過(guò)A(1,9)點(diǎn);精英家教網(wǎng)

(3)如圖1,設(shè)拋物線C2的對(duì)稱軸為x=m,則OF=|m|,EF=|
9
m
|,
由拋物線C1的:y=-x2+2x+8得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,8),
∵由D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形是梯形,
∴(8+|
9
m
|)×|m|×
1
2
=16.5,解得m=±3,
當(dāng)m=3時(shí),n=-m2+2m+8=-32+2×3+8=5,
∴P1(3,5);
當(dāng)m=-3時(shí),n=-m2+2m+8=-(-3)2+2×(-3)+8=-7,
∴P2(-3,-7),

①如圖2,點(diǎn)D、P1在直線y=x的同側(cè),連接P1D交直線y=x于點(diǎn)M1,則M1點(diǎn)即為所求點(diǎn).
∵過(guò)D(0,8)、P1(3,5)兩點(diǎn)的直線解析式為y=-x+8,精英家教網(wǎng)
由方程組
y=-x+8
y=x
x=4
y=4

∴M1(4,4);
精英家教網(wǎng)
②如圖3,點(diǎn)D、P2在直線y=x的異側(cè),D點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為D′(8,0),
連接D′P2交直線y=x于M2點(diǎn),則M2點(diǎn)即為所求點(diǎn).
∵過(guò)D′(8,0)、P2(-3,-7)兩點(diǎn)的直線解析式為y=
7
11
x-
56
11
,
由方程組
y=
7
11
x-
56
11
y=x
得,
x=-14
y=-14
,
∴M2(-14,-14).

綜上所述,當(dāng)M點(diǎn)為(4,4)或(-14,-14)時(shí),使得|MD-MP|的值最大.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式,涉及面較廣,難度較大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求頂點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線c2與拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)A、B的對(duì)稱點(diǎn)分別是E、D,連接CD、CB,設(shè)AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個(gè)單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點(diǎn)G恰好落在拋物線c2上,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B精英家教網(wǎng)的左側(cè)),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí),求拋物線C3的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,8),且與拋物線C1交于點(diǎn)B(2,n).在x軸上有一點(diǎn)P,從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸的方向移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng),以DE為邊在直線l左側(cè)畫正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點(diǎn)是否在x軸上,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設(shè)M為正方形DEFG的對(duì)稱中心.當(dāng)t為何值時(shí),△MOP為等腰三角形?

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